Системы счисления
Что это такое?
Есть много способов для представления одного и того же числового значения.
В давние времена люди использовали палочки для подсчета. Позднее научились
рисовать палочки на земле и в конечном счете на бумаге. Так что число 5 вначале
представлялось как:
| |
| | | (пять палочек).
Еще позднее римляне начали использовать различные символы для большого количества
палочек:
| |
| означало три палочки,
а
V
означало пять палочек,
и наконец
X использовалось для представления 10-ти палочек!
Использование палочек для счета было хорошей идеей для того времени.
А использование символов вместо реальных палочек было еще лучше.
Одним из наиболее удобных современных способов представления чисел
является десятичная система. Почему? Потому что она использует основное свое
достижение - идею использования символа для подсчета
ничего.
Около 1500 лет назад в Индии
ноль
(
0) был впервые использован как число!
Позднее он был использован на Ближнем Востоке как арабский
sifr.
И наконец, представлен на западе как латинский
zephiro.
Вскоре вы увидите, какое большое значение имеет эта идея во всех
современных системах счисления.
Десятичная система
Большинство людей сегодня используют десятичное представление числа.
В десятичной системе 10 цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Этими цифрами можно представить любое значение, например:
754.
Значение формируется путем суммирования всех цифр, умноженных на
основание (в нашем случае основание равно
10, т.к.
в десятичной системе 10 цифр) в степени, равной позиции цифры (отсчет ведется с нуля):
Позиция каждой цифры - очень важный фактор!
Например, если вы поместите "7" в конец:
547
то это будет уже другое значение:
Важное замечание: любое число в нулевой степени равно единице,
даже ноль в нулевой степени равен 1:
Двоичная система
Компьютеры не такие умные, как люди (во всяком случае пока).
Легко сделать электронную машину с двумя состояниями:
включено
и
выключено, или
1 и
0.
Компьютеры используют двоичную систему, которая использует всего две цифры:
0, 1
И поэтому
основание в двоичной системе равно
2.
Каждая цифра в двоичном числе называется
БИТ, 4 бита - это
ПОЛУБАЙТ,
8 битов это
БАЙТ, два байта - это
СЛОВО, два слова - это
ДВОЙНОЕ СЛОВО (используется редко):
В конец двоичного числа принято добавлять букву
"b". Таким образом мы можем
определить, что 101b - это двоичное число, которое соответствует
десятичному значению 5.
Двоичное число
10100101b эквивалентно десятичному
значению 165:
Шестнадцатиричная система
Шестнадцатиричная система использует 16 цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
И поэтому
основание в шестнадцатиричной системе равно
16.
Шестнадцатиричные числа являются компактными и легкими для чтения.
Их легко преобразовать в двоичную систему и наборот. Каждый полубайт
(4 бита) можно преобразовать в шестнадцатиричную цифру, пользуясь этой таблицей:
Десятичное
(основание 10) |
Двоичное
(основание 2) |
Шестнадцатиричное
(основание 16) |
| 0 | 0000 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 |
| 8 | 1000 | 8 |
| 9 | 1001 | 9 |
| 10 | 1010 | A |
| 11 | 1011 | B |
| 12 | 1100 | C |
| 13 | 1101 | D |
| 14 | 1110 | E |
| 15 | 1111 | F |
|
|
Принято в конец шестнадцатиричного числа добавлять букву
"h",
таким образом мы можем определить, что 5Fh - это шестнадцатиричное число,
которому соответствует десятичное значение 95.
Мы также добавляем
"0" (ноль) в начало шестнадцатиричного числа,
если оно начинается с буквы (A..F), например
0E120h.
Шестнадцатиричное число
1234h эквивалентно десятичному 4660:
Преобразование значений десятичной системы в другие
Чтобы преобразовать число из десятичной системы в какую-либо другую,
необходимо выполнить целое деление десятичного значения на
основание нужной
системы счисления. Получим
результат и
остаток. Затем будем
делить результат на основание системы, пока
результат не будет равен нулю.
Остатки используются для представления значения в новой системе счисления.
Давайте преобразуем число
39 (основание
10) в
шестнадцатиричную систему (основание
16):
Вы видите, что мы получили шестнадцатиричное число
27h.
Все остатки в этом примере меньше
10, поэтому мы не используем буквы.
Здесь приведен пример перевода числа с большим количеством цифр:
Давайте преобразуем десятичное число
43868 в шестнадцатиричную форму:
Результат получаем такой:
0AB5Ch, используя
описанную выше таблицу
для преобразования остатков больше
9 в соответствующую букву.
Используя тот же принцип мы можем преобразовать число в двоичную форму
(используя
2 как делитель), или преобразовать шестнадцатиричное число
в двоичное число, используя
описанную выше таблицу:
Вы видите, что мы получили следующее двоичное число:
1010101101011100b
Числа со знаком
Нет никакой уверенности в том, каким является шестнадцатиричное число
0FFh - отрицательным или положительным. Оно может быть представлено
двумя десятичными значениями: "
255" или "
- 1".
8 бит можно использовать для создания
256 комбинаций (включая ноль),
поэтому мы просто предполагаем, что первые
128 комбинаций (
0..127)
будут представлять положительные числа, а следующие
128 комбинаций (
128..256)
будут представлять отрицательные числа.
Чтобы получить число "
- 5", мы должны вычесть
5 из
максимально возможного числа комбинаций (
256). Так мы получим:
256 - 5 = 251.
Использование этого способа для представления отрицательных чисел имеет
определенный смысл. В математике, если вы прибавите "
- 5" к "
5",
вы должны получить ноль.
То же самое случается, когда процессор складывает два байта:
5 и
251.
Результат превышает значение
255, поэтому из-за переполнения
процессор получает ноль!
Когда используется комбинация
128..256, то старший бит всегда равен
1.
Это используется для определения знака.
Тот же самый принцип используется для
слов (16-ти битовых значений).
С шестнадцатью битами можно создать
65536 комбинаций, первые 32768 комбинаций (
0..32767)
используются для представления положительных чисел, а следующие 32768 комбинаций
(
32767..65535) представляют отрицательные числа.
В
Emu8086 имеются некоторые удобные инструменты для преобразования
чисел и вычисления любых числовых выражений. Все их можно увидеть,
выбрав пункт меню
Math:
Number Convertor - преобразователь чисел позволяет вам преобразовывать
числа из любой системы в любую систему. Просто напечатайте значение
в любом текстовом поле и это значение будет автоматически преобразовано
во все другие системы. Вы можете работать как с
8-ми битовыми, так
и с
16-ти битовыми значениями.
Expression Evaluator - вычисление выражений может быть использовано
для вычислений выражений, в котороых имеются числа, представленные в
различных системах счисления, и преобразования чисел из одной системы в другую.
Напечатайте выражение и нажмите ENTER. Результат появится в выбранной системе счисления.
Вы можете работать со значениями до
32 битов. Если установлен
флажок
Signed, то программа будет считать все значения
знаковыми (+ или -), кроме десятичных чисел и двойных слов.
Двойное слово всегда расценивается как знаковое значение, поэтому
0FFFFFFFFh преобразуется в
-1.
Например, вы хотите вычислить:
0FFFFh * 10h + 0FFFFh
(максимальное местоположение памяти, доступное процессору 8086).
Если вы установите флажки
Signed и
Word, вы получите
-17 (потому что выражение будет вычислено
как
(-1) * 16 + (-1) .
Чтобы выполнить вычисления без знака, уберите флажок
Signed,
тогда выражение будет вычислено как
65535 * 16 + 65535
и вы должны получить
1114095.
Вы можете также использовать
Number Convertor для преобразования
не десятичных чисел,
знаковых десятичных значений, и
выполнять вычисления с десятичными значениями (если это для вас проще).
Эти операции поддерживаются:
~ НЕ (инвертирует все биты).
* умножение.
/ деление.
% модуль.
+ сумма.
- вычитание (и унарный минус).
<< сдвиг влево.
>> сдвиг вправо.
& логическое И.
^ исключающее ИЛИ.
| логическое ИЛИ.
Двоичные числа должны иметь суффикс "
b", например:
00011011b
Шестнадцатиричные числа должны иметь суффикс "
h", и начинаться с нуля
если первая цифра - это буква (A..F), например:
0ABCDh
Восмеричные (основа 8) числа должны иметь суффикс "
o", например:
77o
>>> Следующий урок >>>
